Question

已知數(shù)列的前n項的和為，且，
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列
（2）求通項與前n項的和；
（3）設(shè)若集合M=恰有4個元素，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）證明見解析；（2），；（3）.

試題分析：（1）可以根據(jù)等比數(shù)列的定義證明，用后項比前項，即證是常數(shù)，這由已知易得，同時要說明；（2）由（1）是公比為的等比數(shù)列，因此它的通項公式可很快求得，即，從而，這個數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得，因此其前項和可用錯位相減法求出；（3）這里我們首先要求出，由（2）可得，集合M=恰有4個元素，即中只有4個不同的值不小于，故要研究數(shù)列中元素的大小，可從單調(diào)性考慮，作差，可見，，再計算后發(fā)現(xiàn)，因此應(yīng)該滿足．
試題解析：（1）因為，當(dāng)時，.
又，（）為常數(shù)，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（2）由是以為首項，為公比的等比數(shù)列得，
所以.
由錯項相減得.
（3）因為，所以
由于
所以，，.
因為集合恰有4個元素，且，
所以.