Question

例2．△ABC中，求證：

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．

Answer 1

分析：根據三角形大角對大邊，可知（a-b）（A-B）≥0，（b-c）（B-C）≥0，（c-a）（C-A）≥0，三式展開相加得后，左右同時加：aA+bB+cC得得3（aA+bB+cC）≥（a+b+c）（A+B+C）=π（a+b+c） 原式得證．

解答：證明：根據三角形大角對大邊，有
（a-b）（A-B）≥0，（b-c）（B-C）≥0，（c-a）（C-A）≥0．
上述三式展開相加得：
2（aA+bB+cC）≥（b+c）A+（c+a）B+（a+b）C
上式左右同時加：aA+bB+cC得：
3（aA+bB+cC）≥（a+b+c）（A+B+C）=π（a+b+c）
故得

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．

點評：本題主要考查了不等式的證明．解題的關鍵是利用三角形大角對大邊的性質．