Question

設M是由滿足下列條件的函數f(X)構成的集合：

①方程有實數根；

②函數的導數 (滿足”

(I )若函數為集合M中的任一元素，試證明萬程只有一個實根_；

(II)    判斷函^是否是集合M中的元素，并說明理由；

(III)   “對于（II)中函數定義域內的任一區間，都存在，使得”，請利用函數的圖象說明這一結論.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）令，則，即在區間上單調遞減

所以，使，即成立的至多有一解，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分

又由題設①知方程有實數根，

所以，方程只有一個實數根；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分

（Ⅱ）由題意易知，，滿足條件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

令，

則，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分

又在區間上連續，所以在上存在零點，

即方程有實數根，故滿足條件①，

綜上可知，；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，

而，

所以原式等價于，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分

該等式說明函數上任意兩點和的連線段 （如圖所示），在曲線上都一定存在一點，使得該點 處的切線平行于，根據圖象知該等式一定成立.

【解析】略