Question

已知：兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA₁的長(zhǎng)度為d．在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A₁E=m，AF=n．求證：EF=

d2+m2+n2±2mncosθ

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Answer 1

分析：由題意作輔助面，作出兩條異面直線a、b所成的角，再由垂直關(guān)系通過(guò)作輔助線把EF放在直角三角形中求解．

解答：解：設(shè)經(jīng)過(guò)b與a平行的平面為α，經(jīng)過(guò)a和AA₁的平面為β，α∩β=c，則c∥a．
因而b，c所成的角等于θ，且AA₁⊥c．
∵AA₁⊥b，∴AA₁⊥α．
根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理，β⊥α．
在平面β內(nèi)作EG⊥c，垂足為G，則EG=AA₁．
根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，EG⊥α．連接FG，則EG⊥FG．
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²．
∵AG=m，∴在△AFG中，F(xiàn)G²=m²+n²-2mncosθ．
∵EG²=d²，∴EF²=d²+m²+n²-2mncosθ．
如果點(diǎn)F（或E）在點(diǎn)A（或A₁）的另一側(cè)，則
EF²=d²+m²+n²+2mncosθ．
因此，EF=

d2+m2+n2±2mncosθ

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用條件作出輔助面和輔助線，結(jié)合線面、面面垂直的定理，在直角三角形中求公垂線的長(zhǎng)；考查空間圖形的線面關(guān)系，空間想象能力和邏輯思維能力．