Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ECD．
（Ⅱ）求D點到面CEB的距離．

Answer 1

【答案】證明：（I）∵四邊形ADEF為正方形， ∴ED⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD．
又∵BD⊥CD，ED∩CD=D，
∴BD⊥平面ECD．
（ II）解：∵CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，
又∵正方形ADEF，∴CB=2，CE= ， ，
∴ ，∴ ，
Rt△BCD的面積等于 S△BCD= 1 = ，
由得（ I）ED⊥平面ABCD，∴點E到平面BCD的距離為ED=2，設點D到到面CEB的距離為h，
∴ = ，∴h= ，
即點D到到面CEB的距離為 ．
【解析】（ I）由條件證明ED⊥BD，再根據BD⊥CD，利用直線和平面垂直的判定定理證得BD⊥平面ECD． II）先求△CBE的面積，Rt△BCD的面積，設點D到到面CEB的距離為h，利用等體積法求點D到平面CBE的距離h的值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．