Question

廠家在產品出廠前，需對產品做檢驗，商家按合同規定也需隨機抽樣做檢驗，以決定是否接收這批產品．
（1）廠家在一批數量很大的產品中進行抽檢，若每件產品合格的概率為

4

5

，從中任意取出3件進行檢驗，求可能檢驗出不合格產品數X的分布列；
（2）若廠家發給商家20件產品，其中有3件不合格．按合同規定該商家從中任取2件，都進行檢驗，只有2件都合格時才接收這批產品，否則拒收．求該商家可能檢驗出不合格產品數Y的分布列，并求該商家拒收這批產品的概率．

Answer 1

分析：（1）可能檢驗出不合格產品數為X，則X～B（3，

1

5

）．由此能求出離散型隨機變量X的分布列．
（2）可能檢驗出不合格產品數為Y，則Y服從超幾何分布，所以有p(Y=0)=

C 2 17

C 2 20

=

136

190

，P(Y=1)=

C 1 3 C 1 17

C 2 20

=

51

190

，P(Y=3)=

C 2 3

C 2 20

=

3

190

．由此能求出離散型隨機變量Y的分布列和商家拒收這批產品的概率．

解答：（1）解：可能檢驗出不合格產品數為X，則X～B（3，

1

5

）．
P（X=0）=

C

0 3

(

4

5

)3(

1

5

)0=

64

125

，
P(X=1)=

C

1 3

(

4

5

)  2(

1

5

)1=

48

125

，
P（X=2）=

C

2 3

(

4

5

)1(

1

5

)2=

12

125

，
 p（X=3）=

C

3 3

(

4

5

)  0(

1

5

)  3=

1

125

．
則離散型隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

（2）可能檢驗出不合格產品數為Y，則Y服從超幾何分布，所以有：
p(Y=0)=

C 2 17

C 2 20

=

136

190

，
P(Y=1)=

C 1 3 C 1 17

C 2 20

=

51

190

，
P(Y=3)=

C 2 3

C 2 20

=

3

190

．
則離散型隨機變量Y的分布列為：

Y	0	1	2
P	136 190	51 190	3 190

由題意，商家拒收這批產品的概率為：P(Y≥1)=1-P(Y=0)=

27

95

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．注意二項分布和超幾何分布的性質和應用．