Question

設函數（其中），，已知它們在處有相同的切線.
(1)求函數，的解析式；
(2)求函數在上的最小值；
(3)若對恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(1) .
(2) ；
（3）滿足題意的的取值范圍為.

試題分析：(1) 應用導數的幾何意義，確定切點處的導函數值，得切線斜率，建立的方程組.
(2) 應用導數研究函數的最值，基本步驟明確，本題中由于中的不確定性，應該對其取值的不同情況加以討論.
當時，在單調遞減，單調遞增，
得到.
當時，在單調遞增，得到；                         
即 .
（3）構造函數，
問題轉化成.
應用導數研究函數的最值，即得所求.
試題解析：(1) ，                          1分
由題意，兩函數在處有相同的切線.
，
.                            3分
(2) ，由得，由得，
在單調遞增，在單調遞減.                  4分

當時，在單調遞減，單調遞增，
∴.                                         5分
當時，在單調遞增，
；
                       6分
（3）令，
由題意當                  7分
∵恒成立，            8分
，              9分
，由得；由得
∴在單調遞減，在單調遞增                  10分
①當，即時，在單調遞增，
，不滿足.         11分
當，即時，由①知，，滿足
.                           12分
③當，即時，在單調遞減，在單調遞增
，滿足.
綜上所述，滿足題意的的取值范圍為.                13分