Question

已知矩陣A=

1 a -1 b

，A的一個特征值λ=2，其對應的特征向量是α1=

2 1

．
（1）求矩陣A；
（2）若向量β=

7 4

，計算A⁵β的值．

Answer 1

分析：（1）由題意知：A

α

=λ

α

（

α

為特征向量，λ為特征值），利用矩陣的乘法法則化簡求出a與b的值，代入矩陣A即可；
（2）根據矩陣A的特征多項式求出矩陣A的所有特征值為2和3，得到A=2

2 1

=3

1 1

①，然后根據特征向量線性表示出向量β，利用矩陣的乘法法則求出β=3α₁+α₂②，將①和②代入A⁵β中求出值即可．

解答：解：（1）由題知：

1 a -1 b

2 1

=2

2 1

，即2+a=4，-2+b=2，解得a=2，b=4，
所以A=

1 2 -1 4

；
（2）矩陣A的特征多項式為f(λ)=

.

λ-1 1

-2 λ-4

.

=λ²-5λ+6=0，
得λ₁=2，λ₂=3，
當λ1=2時，α1=

2 1

，當λ₂=3時，得α2=

1 1

． 則A=2

2 1

=3

1 1

由β=mα₁+nα₂=m

2 1

+n

1 1

=

7 4

得：

2m+n=7 m+n=4

解得

m=3 n=1

，則β=3α₁+α₂
∴A⁵β=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂=3(

λ

5 1

α1)+

λ

5 2

α2=3×25

2 1

+35

1 1

=

435 339

．

點評：考查學生會利用二階矩陣的乘法法則進行運算，會求矩陣的特征值和特征向量．