Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且

AP

=

8

5

PQ

．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+

3

y+3=0相切，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）設出Q點坐標，由F，A的坐標表示出

FA

和

AQ

，根據(jù)

FA

⊥

AQ

得出

FA

•

AQ

=0看，進而求得x₀，設P（x₁，y₁）根據(jù)

AP

=

8

5

PQ

求得x₁和y₁的表達式，把點P的坐標代入橢圓方程進而求得a和c的關系，則橢圓的離心率可得．
（2）根據(jù)（1）中a和c的關系可知F和Q的坐標，△AQF的外接圓圓心和半徑，進而根據(jù)

| 1 2 a+3|

2

=a求得a，進而根據(jù)a和b，c的關系求得b，則橢圓的方程可得．

解答：解：（1）設Q（x₀，0），由F（-c，0）A（0，b）知

FA

=(c，b)，

AQ

=(x0，-b)
∵

FA

⊥

AQ

，∴cx0-b2=0，x0=

b2

c

設P（x₁，y₁），
由

AP

=

8

5

PQ

得x1=

8b2

13c

，y1=

5

13

b
因為點P在橢圓上，所以

( 8b2 13c )2

a2

+

( 5 13 b)2

b2

=1
整理得2b²=3ac，即2（a²-c²）=3ac，2e²+3e-2=0，故橢圓的離心率e=

1

2

．

（2）由（1）知2b2=3ac，得

b2

c

=

3

2

a，由

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a
于是F（-

1

2

a，0）Q(

3

2

a，0)，
△AQF的外接圓圓心為（

1

2

a，0），半徑r=

1

2

|FQ|=a
所以

| 1 2 a+3|

2

=a，解得a=2，
∴c=1，b=

3

，
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的前提的是熟練掌握橢圓的基本性質．