Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F₂三點的圓恰好與直線l：x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．
．

Answer 1

分析：（1）設Q（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b）結合向量條件及向量運算得出關于a，c的等式，從而求得橢圓的離心率即可；
（2）由（1）知a，c的一個方程，再利用△AQF的外接圓得出另一個方程，解這兩個方程組成的方程組即可求得所求橢圓方程；
（3）由（Ⅱ）知直線l：y=k（x-1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得滿足題意的點P且m的取值范圍．

解答：解：（1）設Q（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b）
知

F2A

=(-c，b)，

AQ

=(x0，-b)
∵

F2A

⊥

AQ

，∴-cx0-b2=0，x0=-

b2

c

，
由于2

F1F2

+

F2Q

=

0

即F₁為F₂Q中點．
故-

b2

c

+c=-2c∴b²=3c²=a²-c²，
故橢圓的離心率e=

1

2

，（3分）
（2）由（1）知

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a于是F₂（

1

2

a，0）Q(-

3

2

a，0)，
△AQF的外接圓圓心為（-

1

2

a，0），半徑r=

1

2

|FQ|=a
所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，∴c=1，b=

3

，
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，（6分）
（3）由（Ⅱ）知F₂（1，0）l：y=k（x-1）

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），（8分）

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
由于菱形對角線垂直，則(

PM

+

PN

)•

MN

=0
故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0
則k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0k²(

8k2

3+4k2

-2)+

8k2

3+4k2

-2m=0（10分）
由已知條件知k≠0且k∈R∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

∴0＜m＜

1

4

故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是0＜m＜

1

4

．（12分）

點評：當直線與圓錐曲線相交時   涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化   同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．