Question

函數y=f（x）（x∈R）有下列命題：
（1）在同一坐標系中，y=f（x-1）與y=f（-x+1）的圖象關于直線x=-1對稱；
（2）若f（2-x）=f（x），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（3）若f（x-1）=f（x+1），則函數y=f（x）是周期函數，且2是一個周期；
（4）若f（2-x）=-f（x），則函數y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱．其中正確命題的序號是

（2）（3）（4）

．

Answer 1

分析：根據題意，依次分析4個命題：對于（1）：y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關于y軸對稱，由圖象變化的規律分析如何由將y=f（x）得到f（x-1）的圖象，如何由y=f（-x）得到y=[-（x-1）]=f（-x+1）的圖象，進而判斷可得（1）錯誤；對于（2）：在f（2-x）=f（x）中，用換元法，令t=x-1，可得f（1-t）=f（1+t），分析可得（2）正確；對于（3）：在f（x-1）=f（x+1）中，令t=x-1，有f（t）=f（t+2），由周期函數的定義，分析可得（3）正確；對于（4）：在f（2-x）=-f（x）中，用換元法，令t=x-1，則f（1-t）=-f（1+t），分析可得，則（4）正確；綜合可得答案．

解答：解：根據題意，依次分析4個命題：
對于（1）：y=f（x）的圖象與y=f（-x）的圖象關于y軸對稱，將y=f（x）向右平移一個單位得到f（x-1）的圖象，
將y=f（-x）的圖象向右平移一個單位得到y=[-（x-1）]=f（-x+1）的圖象，則在同一坐標系中，y=f（x-1）與y=f（-x+1）的圖象關于直線x=1對稱，則（1）錯誤；
對于（2）：在f（2-x）=f（x）中，令t=x-1，則f（1-t）=f（1+t），分析可得函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，則（2）正確；
對于（3）：在f（x-1）=f（x+1）中，令t=x-1，有f（t）=f（t+2），則函數y=f（x）是周期函數，且2是一個周期，（3）正確；
對于（4）：在f（2-x）=-f（x）中，令t=x-1，則f（1-t）=-f（1+t），則函數y=f（x）的圖象關于（1，0）對稱，則（4）正確；
綜合可得，正確命題的序號是（2）、（3）、（4），
故答案為（2）、（3）、（4）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，涉及抽象函數的對稱問題，關鍵掌握函數關于直線、點對稱的規律與判斷方法．