Question

（2010天津理數(shù)）（20）（本小題滿分12分）

已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。

（1）       求橢圓的方程；

（2）       設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值

Answer 1

【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力，滿分12分

（1）解：由，得，再由，得

由題意可知，

解方程組 得 a=2,b=1

所以橢圓的方程為

設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為

以下分兩種情況：

（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是

（2）當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為

令x=0，解得

由

整理得

綜上