Question

設是橢圓上的兩點，點是線段的中點，

線段的垂直平分線與橢圓相交于兩點.

（1）確定的取值范圍，并求直線的方程；

（2）試判斷是否存在這樣的，使得四點在同一個圓上？并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）解法一：設直線的方程為，代入    

整理得      ①

設，，② 且

由是線段的中點，得，解得，代入②得

所以直線的方程為，即             （5分）

解法二：設，（點差）則有，

∵是線段的中點，

又在橢圓內部，，即，

∴直線的方程為，即

（2）解法一：因為垂直平分，所以直線的方程為，

即，代入橢圓方程，整理得

設，的中點，

且，

即，由弦長公式得③，

將直線的方程代入橢圓方程得④，

同理可得⑤                 （9分）

因為當時，，所以

假設存在，使四點共圓，則必為圓的直徑，點為圓心。

點到直線的距離⑥，

于是，

故當時，在以為圓心，為半徑的圓上         （12分）

 

【解析】答案