Question

請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形，斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝x(cm)．

①某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？

②某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．

 

Answer 1

①x＝15②

【解析】設包裝盒的高為h cm，底面邊長為a cm.

則a＝x，h＝＝ (30－x)，0<x<30.

①S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，

所以，當x＝15時，S取得最大值．

②V＝a2h＝2 (－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．

令V′＝0得x＝0或x＝20.

當0<x<20時，V′>0；當20<x<30時，V′<0.

所以，當x＝20時，V取得極大值，也是最大值．

此時＝.即包裝盒的高與底面邊長的比值為.