Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，長度為b（b為定值且b＜a）的線段EF在面對角線A₁C₁上滑動，G是棱BB₁上的動點（G不與端點B₁、B重合），下列四個判斷：
①三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面積的一半；
②三棱錐B₁-DEF的體積不變；
③三棱錐G-ADD₁的體積等于三棱錐B-A₁AD₁的體積；
④正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面積是3πa²．
其中正確命題的個數是（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：根據正方體的結構特征，以及幾何體表面積、體積公式，結合等面積、等體積轉化的方法，逐一考察各選項，作出判斷．

解答：①錯． 將正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 沿對角面ACC₁A₁切割，可分成兩個全等的三棱柱，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁與三棱柱ADC-A₁D₁C₁的，各自的體積為正方體的一半，但表面積是正方體表面積一半再加上截面ACC₁A₁的面積．
②對．V _B1-DEF=V _D-B1EF，底面△B₁EF的面積保持不變，頂點D到底面△B₁EF的距離為棱長a，也不變．所以體積不變．                             
③對．  由正方體的結構特征，GB∥面ADD₁A₁，G、B到面ADD₁A₁的距離相等，即為棱長a．
三棱錐G-ADD₁和三棱錐B-A₁AD₁中由相等的底面：S_△ADD1=S_△A1AD1，有相等的高a，故三棱錐G-ADD₁的體積等于三棱錐B-A₁AD₁的體積．
④對． 正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的直徑即為體對角線AC₁，半徑長r=

1

2

AC₁=

3

2

a，表面積S=4πr²=3πa²．
故選B

點評：本題考查幾何體表面積、體積的度量，等面積、等體積轉化的方法．