Question

在正三棱錐P―ABC中，底面正△ABC的中心為O，D是PA的中點，PO=AB=2，求PB與平面BDC所成角的正弦值．

Answer 1

解：以O為坐標原點，OA為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標系．因△ABC是正三角形，故y軸平行于BC，而PO=AB=2，則

P（0，0，2），     A（，0，0），

B（－，1，0）， C（－，－1，0），

D是PA的中點，故D（，0，1）,=（0，－2，0），=（，－1，1）

設=（x，y，z）是平面BDC的一個法向量，   ?=0且?=0，

即：，化簡得：  

取x=，則y=0，z=－2，                                     

平面BDC的一個法向量是=（，0，－2），=（－，1，－2）

cos<，>==

由于和所成的角與PB與平面BDC所成角互余，

所以PB與平面BDC所成角的正弦值為．