Question

已知a≥

1

2

，f（x）=-a²x²+ax+c．
（1）如果對任意x∈[0，1]，總有f（x）≤1成立，證明c≤

3

4

；
（2）已知關于x的二次方程f（x）=0有兩個不等實根x₁，x₂，且x₁≥0，x₂≥0，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將原二次函數配方得f（x）=-a²（x-

1

2a

）²+c+

1

4

，利用二次函數在閉區間上的最值求出它在（0，1]最大值，再由題意得[f（x）]_max=c+

1

4

≤1，從而證得：c≤

3

4

．
（2）根據拋物線開口向下，f（x）=0的兩根在[0，+∞）內，得出關于a，c的不等關系，解之即可得出實數c的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=-a²（x-

1

2a

）²+c+

1

4

，
∵a≥

1

2

，∴

1

2a

∈（0，1]，
∴x∈（0，1]時，[f（x）]_max=c+

1

4

，-----------------------（2分）
∵f（x）≤1，則[f（x）]_max=c+

1

4

≤1，即c≤

3

4

，
∴對任意x∈[0，1]，總有f（x）≤1成立時，可得c≤

3

4

．--------------------------（5分）
（2）∵a≥

1

2

，∴

1

2a

＞0
又拋物線開口向下，f（x）=0的兩根在[0，+∞）內，
⇒

△＞0 1 2a ≥0 f(0)≤0

⇒

c＞- 1 4 a＞0 f(0)≤0

⇒

c＞- 1 4 c≤0

⇒-

1

4

＜c≤0
所求實數c的取值范圍為-

1

4

＜c≤0．---------------------（12分）

點評：本小題主要考查二次函數在閉區間上的最值、二次函數的性質、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．