Question

【題目】已知動圓過點，且在軸上截得的弦長為4．

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）過點的直線與曲線交于點，，與軸交于點，設，，求證：是定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）設動圓心C（x，y），利用半徑相等可得：，化簡即可得出動圓圓心C的軌跡方程．

（2）設直線l的方程為：x＝ty+2．設A（x1，y1），B（x2，y2）．與拋物線方程聯立化為：y2﹣4ty﹣8＝0．利用根與系數的關系、向量坐標運算性質即可得出．

（l）設動圓圓心坐標為，

由題意得：動圓半徑，圓心到軸的距離為.

所以，

化簡得：，

所以動圓圓心的軌跡方程為.

（2）設直線的方程為，

代入，得.

設，，

則，.

由，所以，.

因為，所以，

所以.

同理可得，，

所以.

即是定值.