Question

在任意八邊形ABCDEFGT中，取各邊中點，如圖，H、I、J、K、L、M、N、O分別是GT、TA、AB、BC、CD、DE、EF、FG的中點，連接IK、JL、MO、NH，P、Q、R、S分別是NH、MO、JL、IK的中點．求證：以P、Q、R、S為頂點的四邊形SRQP是平行四邊形．

Answer 1

分析：取AD的中點X，連接JX、JK、KL、LX，由三角形的中位線定理可得：四邊形JKLX是平行四邊形．對角線JL與KX相交于點R．由三角形的中位線定理可得：SR∥TD．同理可知：PQ∥TD．得到SR∥PQ．同理可證：SP∥RQ．即可證明．

解答：證明：如圖所示，
取AD的中點X，連接JX、JK、KL、LX，
由三角形的中位線定理可得：JX

∥

.

1

2

BD

∥

.

KL，
∴JX

∥

.

KL，
∴四邊形JKLX是平行四邊形．
∴對角線JL與KX相交于點R．
由三角形的中位線定理可得：SR∥IX，IX∥TD，
∴SR∥TD．
同理可知：PQ∥TD．
∴SR∥PQ．
同理可證：SP∥RQ．
∴以P、Q、R、S為頂點的四邊形SRQP是平行四邊形．

點評：本題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形定理的判定與性質定理，考查了添加輔助線的能力，考查了推理能力，考查了處理復雜問題的能力，屬于難題．