Question

已知點(diǎn)H在正方體ABCD-A′B′C′D′的對(duì)角線B′D′上，∠HDA=60°．
（Ⅰ）求DH與CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DH與平面AA′D′D所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)H（m，m，1）（m＞0），則

DA

=（1，0，0），

CC′

=（0，0，1），連接BD，B′D′．
則

DH

=（m，m，1）（m＞0），
由已知＜

DA

，

DH

＞=60°，根據(jù)

DA

•

DH

=|

DA

||

DH

|cos＜

DA

，

DH

＞，可得2m=

2m2+1

，解得m=

2

2

，
∴

DH

=（

2

2

，

2

2

，1），
∴cos＜

DA

，

CC′

＞=

2

2

，
∴＜

DA

，

CC′

＞=45°，即DH與CC′所成角的大小為45°；
（Ⅱ）平面AA′D′D的一個(gè)法向量為

DC

=（0，1，0），
∴cos＜

DH

，

DC

＞=

0+ 2 2 +0

2

=

1

2

，
∴＜

DH

，

DC

＞=60°，
∴DH與平面AA′D′D所成角的大小為30°．