Question

一個人隨機將編號為1，2，3，4的四個小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中去，每個盒子放入一球，當盒子編號與球的編號相同時叫做放對了，否則叫放錯了，設放對了的小球數有ξ個．
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的期望與方差．

Answer 1

分析：（1）由題設知，ξ的可能取值是0，1，2，4，由題設條件分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列．
（2）由ξ的分布列能求出Eξ和Dξ．

解答：解：（1）由題設知，ξ的可能取值是0，1，2，4，
把4個小球放入四個盒中，每個盒子放入一球，共有

A

4 4

種放法，
ξ=0，表示四個小球和四個盒子的編號都不相同，
先放1號球，有3種放法；再放裝1號球的盒子對應號碼的小球，也有3種放法；
然后剩下的兩個小球各有一種放法，
故ξ=0的放法有3×3×1×1=9，
∴P（ξ=0）=

9

A 4 4

=

9

24

=

3

8

，
ξ=1表示有1個小球與盒子的編號相同，
從四個小球中任一個，放入對應的盒子中，有

C

1 4

種，
剩下的3個小球有2種放法，
故ξ=1的放法有

C

1 4

•2種，
∴P（ξ=1）=

C 1 4 •2

A 4 4

=

8

24

=

1

3

，
ξ=2表示有2個小球與盒子的編號相同，
從四個小球中任2個，放入對應的盒子中，有

C

2 4

種，
剩下的2個小球有1種放法，
故ξ=2的放法有

C

2 4

種，
∴P（ξ=2）=

C 2 4

A 4 4

=

6

24

=

1

4

，
ξ=4表示有4個小球與盒子的編號相同，有1種放法，
∴P（ξ=4）=

1

A 4 4

=

1

24

．
∴ξ的分布列為：

ζ	0	1	2	4
P	3 8	1 3	1 4	1 24

（2）由（1）知Eξ=0×

3

8

+1×

1

3

+ 2×

1

4

+4×

1

24

=1，
ξ²=02×

3

8

+12×

1

3

+22×

1

4

+42×

1

24

=2，
∴Dξ=Eξ²-（Eξ）²=2-1²=1．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望和方差，是歷年高考的必考題型，難度不大，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合知識的靈活運用．