Question

若數{a_n}中，a_n=

1

n(n+1)

，其前n項的和是

9

10

，則在平面直角坐標系中，直線（n+1）x+y+n=0在y軸上的截距為

-9

．

Answer 1

分析：數列{a_n}中，a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，故S_n=

n

n+1

，由{a_n}前n項的和是

9

10

，解得n=9．由此能求出直線（n+1）x+y+n=0在y軸上的截距．

解答：解：∵數列{a_n}中，a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∵{a_n}前n項的和是

9

10

，
∴

n

n+1

=

9

10

，∴n=9．
∴直線（n+1）x+y+n=0為10x+y+9=0，
∵x=0時，y=-9，
∴直線（n+1）x+y+n在y軸上的截距為-9．
故答案為：-9．

點評：本題考查直線在y軸上截距的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．