Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經過點，直線交橢圓于不同的兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍；

（3）若直線不過點，求證：直線的斜率互為相反數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）設出橢圓方程的標準形式，由離心率的值及橢圓過點（4，1）求出待定系數，得到橢圓的標準方程；

（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍；

（3）由方程聯立可得到兩根之和、兩根之積，從而可求直線MA，MB斜率之和，化簡可得結論．

（1） 設橢圓的方程為 ，因為 ，所以 ，

又因為 ，所以 ，解得 ，故橢圓方程為 ．

（2） 將 y=x+m 代入 并整理得 ， ，解得 -5<m<5．

（3） 設直線MA，MB 的斜率分別為 ，只要證明 ，

設 ，

則 ， ，

，

分子

所以直線 MA，MB 的斜率互為相反數．