Question

如圖，AA₁，BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA₁，CB₁的中點，DE⊥面CBB₁.

(1)證明：DE∥面ABC；
(2)求四棱錐C­ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比．

Answer 1

(1)見解析   (2)

解：(1)證明：連接EO，OA.
∵E，O分別為B₁C，BC的中點，
∴EO∥BB₁.
又DA∥BB₁，且DA＝BB₁＝EO，
∴四邊形AOED是平行四邊形，
即DE∥OA.又DE?平面ABC，AO?平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
(2)由題意知DE⊥平面CBB₁，且由(1)知DE∥AO，
∴AO⊥平面CBB₁，
∴AO⊥BC，
∴AC＝AB.
∵BC是底面圓O的直徑，
得CA⊥AB，且AA₁⊥CA，
∴CA⊥平面AA₁B₁B，即CA為四棱錐C­ABB₁A₁的高．
設圓柱高為h，底面半徑為r，
則V_OO1＝πr²h，V _C­ABB1A1＝h(r)·(r)＝hr².
∴V_C­ABB1A1∶V _OO1＝.