Question

已知為常數，，函數，且方程有等根．
（1）求的解析式及值域；
（2）設集合，，若，求實數的取值范圍；
（3）是否存在實數，使的定義域和值域分別為和？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1），值域為；（2）；（3）存在，使的定義域和值域分別為和.

試題分析：（1）由方程有兩個相等的實數根，則，得，又由，可求，從而求得，進而得出函數的值域；
（2）首先對集合進行分類：①；②；然后根據二次函數圖像以及根的分布情況，分別確定實數的取值范圍；最后將這兩類情況的實數的取值范圍取并集即可；
（3）由函數的最大值，確定，從而知當時，在上為增函數.若滿足題設條件的存在，則，從而可求的值.  
試題解析：（1）                    
又方程，，即有等根，
，即，從而，.                                                    
又，值域為.               
（2），
①當時，，此時，解得；
②當時，設，對稱軸，要，只需，解得， . 
綜合①②，得.
（3），則有，.
又因為對稱軸，所以在是增函數，即，
解得，.
∴存在，使的定義域和值域分別為和.