Question

【題目】如圖，在三棱柱中，是等邊三角形，平面是的中點，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）

【解析】

（1）取的中點為，連接，根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立；

（2）先由線面垂直的判定定理，證明面，進而可得面面垂直；

（3）先由題中條件求出到平面的距離，再由三棱錐體積公式，即可得出結果.

（1）取的中點為，連接，

因為分別為的中點，

所以，且，

所以且，則四邊形為平行四邊形，

所以，

又面，面，

所以面；

（2）因為平面，面，所以，

又為正三角形，為的中點，所以，

又，

所以面，又，

所以面，

又面，

所以平面平面.

（3）由，得，

，又，

，即到平面的距離為，得

,

故三棱錐的體積為.