Question

【題目】在直角梯形PBCD中，∠D＝∠C，BC＝CD＝2，PD＝4，A為PD的中點，如圖1，將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，如圖2．

（1）求證：SA⊥平面ABCD；

（2）若E為SD中點，求D點到面EAC的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）先證明BC⊥平面SAB，得到BC⊥SA，結合SA⊥AB，即得證；

（2）D點到面EAC的距離即為三棱錐以平面為底面的高，利用等體積法：即得解.

（1）證明：在直角梯形PBCD中，由題意得BA⊥PD，ABCD是正方形，

∴在翻折后的圖形中，SA⊥AB，SA＝2，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

∵SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB＝B，∴BC⊥平面SAB，

∵SA平面SAB，∴BC⊥SA，

∵SA⊥AB，BC∩AB＝B，∴SA⊥平面ABCD．

（2）D點到面EAC的距離即為三棱錐以平面為底面的高，

利用等體積法：

即：

由于E為SD中點，故，

由于為等腰直角三角形，且E為SD中點，故

由于SA⊥平面ABCD，故SA⊥CD，且AD⊥CD, SA∩AD＝A

∴CD⊥平面SAD，∵SD平面SAD，∴CD⊥SD

故為直角三角形，故，又

故：