Question

如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC，該曲線段是函數(shù)y=Asin(ωx+

2π

3

)（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B（-1，2）．賽道的中間部分為長(zhǎng)

3

千米的直線跑道CD，且CD∥EF．賽道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧

DE

．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧

DE

上，且∠POE=θ，求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時(shí)θ的值．

Answer 1

分析：（1）依題意，得A=2，

T

4

=3．根據(jù)周期公式T=

2π

w

可得ω，把B的坐標(biāo)代入結(jié)合已知可得φ，從而可求∠DOE的大小；
（2）由（1）可知OD=OP，矩形草坪的面積S關(guān)于θ的函數(shù)，有0＜θ≤

π

4

，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求S取得最大值．

解答：解：（1）由條件，得A=2，

T

4

=3．（2分）
∵T=

2π

ω

，∴ω=

π

6

．（4分）
∴曲線段FBC的解析式為y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)．
當(dāng)x=0時(shí)，y=OC=

3

．又CD=

3

，∴∠COD=

π

4

，即∠DOE=

π

4

．（7分）
（2）由（1），可知OD=

6

．
又易知當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)P在弧DE上，故OP=

6

．（8分）
設(shè)∠POE=θ，0＜θ≤

π

4

，“矩形草坪”的面積為S=

6

sinθ(

6

cosθ-

6

sinθ)=6(sinθcosθ-sin2θ)
=6(

1

2

sin2θ+

1

2

cos2θ-

1

2

)=3

2

sin(2θ+

π

4

)-3．（13分）
∵0＜θ≤

π

4

，故當(dāng)2θ+

π

4

=

π

2

時(shí)，θ=

π

8

時(shí)，S取得最大值．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數(shù)的解析式，一般步驟是：由函數(shù)的最值確定A的值，由函數(shù)所過(guò)的特殊點(diǎn)確定周期T，利用周期公式求ω，再把函數(shù)所給的點(diǎn)（一般用最值點(diǎn)）的坐標(biāo)代入求φ，從而求出函數(shù)的解析式；還考查了實(shí)際問(wèn)題中的最值的求解．關(guān)鍵是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)求解．