Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）設(shè)，若函數(shù)在 內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對討論，分， 求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，可得所求極值點(diǎn)；（2）求出的解析式和導(dǎo)數(shù)，由題意可得有兩個(gè)不為的正根，運(yùn)用判別式大于零和韋達(dá)定理，可得，化簡，由不等式的性質(zhì)即可得證.

試題解析：（1）∵

①若，由得；由，可得，即函數(shù)在上為增函數(shù)；由，可得，即函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上有唯一的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).

②若，由得；由，可得或，即函數(shù)在上為增函數(shù)；由，可得，即函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上有極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn).

③若，則，在上大于等于零恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).

④ 若，由得；由可得或，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；由，可得，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上有極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn).

（2），則

記，由題意可知方程即在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.所以

解得：

∵

∴