Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求證：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ，{a_n}一定不是等差數(shù)列；
（2）當(dāng)λ=-

1

2

時(shí)，試判斷{b_n}是否為等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）要證明{a_n}不是等差數(shù)列，只須證明a₁+a₃≠2a₂，利用反證法即可完成；
（2）要判斷{b_n}是否為等比數(shù)列，只須緊扣等比數(shù)列的定義，證明bn+1：bn=同一個(gè)常數(shù)，注意對(duì)b₁≠0的討論．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，a₁=1．a(chǎn)₂=λ+1，a₃=λ（λ+1）+2=λ²+λ+2
假設(shè){a_n}是等差數(shù)列，由a₁+a₃=2a₂，
得λ²+λ+3=2（λ+1），
即λ²-λ+1=0，
∴△=-3＜0，
∴方程無(wú)實(shí)根．
故對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ，{a_n}一定不是等差數(shù)列．
（2）當(dāng)λ=-

1

2

時(shí)，an+1=-

1

2

an+n，bn=an-

2n

3

+

4

9

bn+1=an+1-

2(n+1)

3

+

4

9

=(-

1

2

an+n)-

2(n+1)

3

+

4

9

=-

1

2

an+

n

3

-

2

9

=-

1

2

(an-

2n

3

+

4

9

)=-

1

2

bn又b1=m-

2

3

+

4

9

=m-

2

9

，
∴當(dāng)m≠

2

9

時(shí)，{bn}是以m-

2

9

為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列，
當(dāng)m=

2

9

時(shí)，{bn}不是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的常規(guī)方法是根據(jù)定義判斷，而判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則只須證明其中的前三項(xiàng)構(gòu)不成等差或等比關(guān)系即可．