Question

【題目】設,函數(shù).

（1）若無零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若有兩個相異零點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）通過a的值，利用函數(shù)的導數(shù)的符號，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點，求解即可．（2）利用x1，x2是方程alnx﹣x＝0的兩個不同的實數(shù)根．得要證：，即證：，即證：，構(gòu)造函數(shù)

，求出導函數(shù)；求其最值，推出轉(zhuǎn)化證明求解即可．

（1）①若，則，是區(qū)間上的減函數(shù)，

∵，，

而，則，即

∴，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點；

②若，，在區(qū)間無零點；

③若，令，得，

在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；

在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；

故在區(qū)間上，的最大值為，由于無零點，

則，解得，

故所求實數(shù)的取值范圍是.

（2）因為，是方程的兩個不同的實數(shù)根.

∴

兩式相減得，解得

要證：，即證：，即證：，

即證，

不妨設，令，只需證.

設，∴；

令，∴，

∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，

∴在為增函數(shù)，∴

即在恒成立，

∴原不等式成立，即.