Question

已知函數．（）
（1）若在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；
（2）若在區間上，函數的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

Answer 1

（1）． （2）時，函數的圖象恒在直線下方．

第一問中，首先利用在區間上單調遞增，則在區間上恒成立，然后分離參數法得到，進而得到范圍；第二問中，在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區間上單調遞增，
則在區間上恒成立． …………3分
即，而當時，，故． …………5分
所以．                …………6分
（2）令，定義域為．
在區間上，函數的圖象恒在曲線下方等價于在區間上恒成立．   
∵       …………9分
① 若，令，得極值點，，
當，即時，在（，+∞)上有，此時在區間上是增函數，并且在該區間上有，不合題意；
當，即時，同理可知，在區間上遞增，
有，也不合題意；                    …………11分
② 若，則有，此時在區間上恒有，從而在區間上是減函數；
要使在此區間上恒成立，只須滿足，
由此求得的范圍是．       …………13分
綜合①②可知，當時，函數的圖象恒在直線下方．