Question

已知直線l：y=kx+k+1，拋物線C：y²=4x，定點M（1，1）．
（I）當直線l經過拋物線焦點F時，求點M關于直線l的對稱點N的坐標，并判斷點N是否在拋物線C上；
（II）當k（k≠0）變化且直線l與拋物線C有公共點時，設點P（a，1）關于直線l的對稱點為Q（x₀，y₀），求x₀關于k的函數關系式x₀=f（k）；若P與M重合時，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據拋物線方程可求得焦點坐標，代入直線方程求得k，設點N（m，n）根據M與N的對稱性聯立方程，求得m和n，可得N的坐標，把N的坐標代入拋物線方程，結果等式不成立，進而可判斷點N不在拋物線C上．
（2）直線方程與拋物線方程聯立消去x，根據判別式大于等于0，求得k的范圍，根據P，Q的對稱聯立方程求得x₀的表達式，根據P與M重合時a=1，根據函數f（x）的單調性和奇偶性求得x₀的范圍．

解答：解：（I）由焦點F（1，0）在l上，得k=-

1

2

，∴l：y=-

1

2

x+

1

2

設點N（m，n）則有：

( n-1 m-1 )(- 1 2 )=-1 m+1 2 +2 n+1 2 =1

，
解得

m= 1 5 n=- 3 5

，
∴N(

1

5

，-

3

5

)
∵

4

5

≠(-

3

5

)2，
N點不在拋物線C上．
（2）把直線方程x=

y

k

-

1

k

-1(k≠0)代入拋物線方程得：ky²-4y+4k+4=0，
∵相交，∴△=16（-k²-k+1）≥0，
解得

-1- 5

2

≤k≤

-1+ 5

2

且k≠0.
由對稱得

y0-1 x0-a •k=-1 y0+1 2 =k x0+a 2 +k+1

解得x0=

a(1-k2)-2k2

k2+1

(-

1+ 5

2

≤k≤

-1+ 5

2

，且k≠0)．
當P與M重合時，a=1
∴f(k)=x0=

1-3k2

k2+1

=-3+

4

k2+1

(-

1+ 5

2

≤k≤

-1+ 5

2

，且k≠0)，
∵函數x₀=f（x）（k∈R）是偶函數，且k＞0時單調遞減．
∴當k=

-1- 5

2

時，(x0)min=-

5+2 5

5

，

lim

k→0

x0=1，x0∈[-

5+2 5

5

，1)

點評：本題主要考查了拋物線的應用及拋物線與直線的關系．此類題是高考常考類型，平時應加強練習．