Question

【題目】已知橢圓 的長軸長為4，焦距為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過動點的直線交軸與點，交于點 (在第一象限)，且是線段的中點.過點作軸的垂線交于另一點，延長交于點.

（ⅰ）設直線的斜率分別為，證明為定值；

（ⅱ）求直線的斜率的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）見解析，（ⅱ）直線AB 的斜率的最小值為

【解析】試題分析：（Ⅰ）分別計算a,b即得.

（Ⅱ）（ⅰ）設，由M(0,m)，可得的坐標，進而得到直線PM的斜率，直線QM的斜率，可得為定值.

（ⅱ）設.直線PA的方程為y=kx+m，直線QB的方程為y=–3kx+m.聯立應用一元二次方程根與系數的關系得到， ，進而可得應用基本不等式即得.

試題解析：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c.

由題意知，

所以.

所以橢圓C的方程為.

（Ⅱ）（ⅰ）設，

由M(0,m)，可得

所以直線PM的斜率，

直線QM的斜率.

此時.

所以為定值–3.

（ⅱ）設.

直線PA的方程為y=kx+m，

直線QB的方程為y=–3kx+m.

聯立

整理得.

由，可得，

所以.

同理.

所以，

，

所以

由，可知k>0，

所以，等號當且僅當時取得.

此時，即，符號題意.

所以直線AB 的斜率的最小值為.