Question

已知橢圓，過點M（0，3）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B．
（1）若l與x軸相交于點N，且A是MN的中點，求直線l的方程；
（2）設P為橢圓上一點，且（O為坐標原點），求當|AB|＜時，實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A（x₁，y₁），因為A為MN的中點，且M的縱坐標為3，N的縱坐標為0，進而求得y_l，又根據點A在橢圓C上，
代入即可求得x₁，則點A的坐標可求．
（2）設直線AB的方程和點A，B，P的坐標，把直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據判別式大于0求得k的范圍，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出AB的長度，求得k的范圍，進而根據+=λ可知（x₁，y₁）十（x₂，y₂）=λ（x₃，y₃），進而分當λ≠0和λ=0時根據k的范圍確定λ的取值范圍．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），
因為A為MN的中點，且M的縱坐標為3，N的縱坐標為0，
所以y_l=，
又因為點A（x_l，y_l）在橢圓C上，
所以x₁²+=1，即=1，解得x₁₌±，
則點A的坐標為（，）或（-，），
所以直線l的方程為6x-7y+21=0或6x+7y-21=0．
（2）設直線AB的方程為y=kx+3或x=0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
當AB的方程為x=0時，|AB|=4＞，與題意不符．
當AB的方程為y=kx+3時：
由題設可得A、B的坐標是方程組的解，
消去y得（4+k²）x²+6kx+5=0，
所以△=（6k）²-20（4+k²）＞0，即k²＞5，
則x₁+x₂=，x₁•x₂=，y₁+y₂=（kx₁+3）+（kx₂+3）=
因為|AB|=，
所以•，解得-＜k²＜8
所以5＜k²＜8．
因為+=λ，即（x₁，y₁）十（x₂，y₂）=λ（x₃，y₃），
所以當λ=0時，由+=0，得x₁+x₂==0，y₁+y₂==0，
上述方程無解，所以此時符合條件的直線l不存在；
當λ≠0時，x₃==-，y₃=
因為點P（x₃，y₃）在橢圓上，
所以[]²+[]²=1化簡得λ²=，
因為5＜k²＜8，所以3＜λ²＜4，
則λ∈（-2，-）∪（，2）．
綜上，實數λ的取值范圍為（-2，-）∪（，2）．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，直線與橢圓的關系，解析幾何的知識，解不等式．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．