Question

【題目】已知橢圓： 的左焦點為， 為坐標原點，點在橢圓上，過點的直線交橢圓于不同的兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求弦的中點的軌跡方程；

（3）設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點， 為軸上一點，若是菱形的兩條鄰邊，求點橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）已知橢圓： 的左焦點為，有，點在橢圓上，得，聯立求出即得方程（2）設， ，則，當時， 點的坐標為. 當時，∵， ，點差法兩式相減得，

∴，又過點，于是的斜率為，∴整理即可

（3）設， 的中點，由（2）知， ①

∵，∴.∴，即，整理得②將②代入①中，得，化為，

∵，∴，由得的范圍，從而得m的范圍.

試題解析：

（1）由題意有，且，解得，

∴橢圓的方程為.

（2）設， ，則，

當時， 點的坐標為.

當時，∵， ，

兩式相減得，

∴，又過點，于是的斜率為，

∴，

整理得.

∵也滿足上式，

∴的軌跡方程為.

（3）設， 的中點，由（2）知， ①

∵，

∴.

∴，即，整理得②

將②代入①中，得，化為，

∵，∴ ，

由（當時， 與軸垂直，不合題意，舍去），得，

于是，即點的橫坐標的取值范圍為.