Question

已知圓N:（x+2）²+y²=8和拋物線C: y²= 2x，圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點A，B.

（I）當直線l的斜率為1時，求線段AB的長；

（II）設點M和點N關于直線y=x對稱，問是否存在直線l，使得?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 （1） .（2）.

【解析】(I)直線l的方程為y=x+m,根據直線l與圓相切，求出m值，然后再與拋物線方程聯立，根據弦長公式求出AB的值。

（II）由于點M與點N關于直線y=x對稱，從而可求出M的坐標，然后利用,把此條件用坐標表示出來，借助韋達定理建立關于k的方程，求出k值，再驗證是否滿足判別式大于零

因為圓N：，所以圓心N為（-2,0），半徑，

………1分

設，，

  （1）當直線的斜率為1時，設的方程為即，因為直線是圓N的切線，所以，解得或（舍去）

         此時直線的方程為， ………………3分

由 消去得，所以，，，

所以弦長 .……………………6分

（2）①設直線的方程為即（），

          因為直線是圓N的切線，所以，

得  ①………………8分

由 消去得 ，

所以即且， ，.

因為點M和點N關于直線對稱，所以點M為

所以，，

因為，所以+ ，……9分

將A，B在直線上代入化簡得，

.

代入，得  

化簡得      ………②

①+②得

即，解得或 

       當時，代入①解得，滿足條件且，

             此時直線的方程為；

       當時，代入①整理得 ，無解.………………11分

②                當直線的斜率不存在時，因為直線是圓N的切線，所以的方程為，則得，，

即

       由①得：

       =

  當直線的斜率不存在時不成立.

綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為.