Question

已知函數(shù)f(x)=2asin(2x+

π

6

)-4acos2x+3a+b，在[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇0，3]
（1）求f（x）的解析式．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，求f（x）圖象的對稱中心．
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，指出函數(shù)f（x）圖象怎樣由y=2sinx圖象變換而來．（不畫圖、只需說明變換步驟）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角公式對解析式進(jìn)行化簡整理，再結(jié)合∈[0，

π

2

]，上的值域?yàn)閇0，3]，求出a，b即可得到f（x）的解析式．
（2）直接利用上面的結(jié)論，再結(jié)合正弦函數(shù)對稱中心的求法即可得到f（x）圖象的對稱中心．
（3）直接利用函數(shù)圖象的平移規(guī)律以及伸縮變換規(guī)律即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=2asin（2x+

π

6

）-4acos²x+3a+b
=2a[sin（2x+

π

6

）-cos2x）+a+b
=2asin（2x-

π

6

）+a+b．
因?yàn)閤∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]．∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
當(dāng)a＞0時(shí)，由

2a+a+b=3 2a×(- 1 2 )+a+b=0

⇒

a=1 b=0

⇒f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1．
當(dāng)a＜0時(shí)，由

2a×(- 1 2 )+a+b=3 2a+a+b=0

⇒

a=-1 b=3

⇒f（x）=-2sin（2x-

π

6

）+2．
（2）因?yàn)閍＜o(jì)時(shí)，f（x）=-2sin（2x-

π

6

）+2．
令2x

π

6

-=kπ⇒x=

kπ

2

+

π

12

．k∈Z．
所以f（x）圖象的對稱中心：(

kπ

2

+

π

12

，2)（k∈Z）
（3）因?yàn)閍＞0時(shí)，f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1，
把y=2sinx的圖象相右平移

π

6

個(gè)單位得到：y=2sin（x-

π

6

），再各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍得到：y=2sin（2x-

π

6

），再整體向上平移1個(gè)單位即可得到：y=2sin（2x-

π

6

）+1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．平移變換時(shí)注意都是對單個(gè)的x或y來運(yùn)作的．