Question

某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為30元，并且每件產品須向總公司繳納a元（a為常數，2≤a≤5）的管理費，根據多年的統計經驗，預計當每件產品的售價為x元時，產品一年的銷售量為（e為自然對數的底數）萬件，已知每件產品的售價為40元時，該產品一年的銷售量為500萬件．經物價部門核定每件產品的售價x最低不低于35元，最高不超過41元．
（Ⅰ）求分公司經營該產品一年的利潤L（x）萬元與每件產品的售價x元的函數關系式；
（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，該產品一年的利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．
參考公式：為常數．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）每件產品的售價為（31+a）元時，該產品一年的利潤最大，最大利潤為萬元．

試題分析：（Ⅰ）求分公司經營該產品一年的利潤L（x）萬元與每件產品的售價x元的函數關系式，由該產品一年的銷售量為，將每件產品的售價為40元時，該產品一年的銷售量為500萬件，代入可得k值，進而根據利潤=單件利潤×銷售量得到該產品一年的利潤L（x）萬元與每件產品的售價x元的函數關系式；（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，該產品一年的利潤L（x）最大，由（Ⅰ）中所得函數的解析式，求導后分析函數的單調性，進而分析出該產品一年的利潤L（x）的最大值．
試題解析：（Ⅰ）由題意，該產品一年的銷售量為，將代入得，故該產品一年的銷售量為 2分
故， ６分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
當時，，當且僅當時取等號，故在上單調遞減，故的最大值為 ９分
當時， ?，?，故在上單調遞增，在上單調遞減，故的最大值為 ^a１２分綜上所述，當時，每件產品的售價為35元時，該產品一年的利潤最大，最大利潤為萬元；當時，每件產品的售價為（31+a）元時，該產品一年的利潤最大，最大利潤為萬元； １４分