Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線l：x+

3

y=0垂直，且C的一個焦點到l的距離為2，則C的標準方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用兩直線垂直的條件可得漸近線方程，再由點到直線的距離公式，可得c=4，再由a，b，c的關系，解得a，b，進而雙曲線的方程．

解答： 解：由于雙曲線的一條漸近線與直線l：x+

3

y=0垂直，
則這條漸近線方程為y=

3

x，
另一條即為y=-

3

x，
設雙曲線的一個焦點為（c，0），
則

|c|

1+3

=2，即c=4，
由雙曲線的漸近線方程可得

b

a

=

3

，
a²+b²=c²，
解得a=2，b=2

3

．
則雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1．
故答案為：

x2

4

-

y2

12

=1．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查兩直線垂直的條件，考查點到直線的距離公式，考查漸近線方程的運用，考查運算能力，屬于基礎題．