Question

命題p：實數x滿足x²-4ax+3a²＜0（其中a＞0）；命題q：實數x滿足
（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若¬p是¬q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）將a=1代入，求出命題p為真時，x的范圍；進而解不等式組求命題q為真時，x的范圍，由p∧q為真，兩個命題均為真，構造不等式組，即可得到實數x的取值范圍；
（Ⅱ）¬p是¬q的充分不必要條件，則¬p⇒¬q，且¬q?¬p，根據（I）中結論，構造關于a的不等式，解得實數a的取值范圍
解答：解：（Ⅰ）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，
當a=1時，1＜x＜3，即p為真時實數x的取值范圍是1＜x＜3．（2分）
由
得
解得2＜x≤3，
即q為真時實數x的取值范圍是2＜x≤3．（4分）
若p∧q為真，則p真且q真，
所以實數x的取值范圍是（2，3）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：a＜x＜3a，
則¬p：x≤a或x≥3a，（8分）
q：2＜x≤3，則¬q：x≤2或x＞3，（10分）
¬p是¬q的充分不必要條件，則¬p⇒¬q，且¬q?¬p，
∴
解得1＜a≤2，
故實數a的取值范圍是（1，2]．（12分）
點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，充要條件，其中根據復合命題的真值表及充要條件的定義，將問題轉化為不等式組，或集合關系問題是解答的關鍵．