Question

為保護我國的稀土資源，國家限定某礦區的出口總量不能超過80噸，該礦區計劃從2010年開始出口，當年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%．
（1）以2010年為第一年，設第n年出口量為a_n噸，試求a_n的表達式；
（2）因稀土資源不能再生，國家計劃10年后終止該礦區的出口，問2010年最多出口多少噸？（保留一位小數）參考數據：0.9¹⁰≈0.35．

Answer 1

分析：（1）由該礦區計劃從2010年開始出口，當年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%．知每年的出口量構成等比數列，且首項a₁=a，公比q=1-10%=0.9，根據等比數列的通項公式即可求得a_n的表達式；
（2）10年出口總量是由（1）得到的等比數列求前10項和，代入等比數列求和公式即可求得，再根據國家限定某礦區的出口總量不能超過80噸，解不等式S₁₀≤80，可求得2010年最多出口多少噸．

解答：解：（1）由題意知每年的出口量構成等比數列，
且首項a₁=a，公比q=1-10%=0.9，
∴a_n=a•0.9^n-1．
（2）10年出口總量
S₁₀=

a(1-0.910)

1-0.9

=10a（1-0.9¹⁰）．
∵S₁₀≤80，∴10a（1-0.9¹⁰）≤80，
即a≤

8

1-0.910

，∴a≤12.3．
故2010年最多出口12.3噸．

點評：此題是個中檔題．考查根據實際問題抽象數列模型的能力，并能根據模型的解決，指導實際生活中的決策問題，考查學生的閱讀能力和分析解決問題的能力．