Question

對于函數f（x），若存在區間M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”．
請你寫出一個具有“穩定區間”的函數；（只要寫出一個即可）
給出下列4個函數：
①f（x）=g^x；②f（x）=x³，③f(x)=cos

π

2

x④f（x）=lnx+1
其中存在“穩定區間”的函數有

 

．（填上正確的序號）

Answer 1

分析：根據“穩定區間”的定義，我們要想說明函數存在“穩定區間”，我們只要舉出一個符合定義的區間M即可，但要說明函數沒有“穩定區間”，我們可以用反證明法來說明．由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=g^x存在“穩定區間”
則當0＜g＜1時，g^a=b，g^b=a，
則f（x）=g^x與其反函數f^-1（x）=log_gx，
有（a，b）與（b，a）兩個交點，
這與指數函數與同底的對數函數圖象無交點相矛盾，故假設錯誤，
即f（x）=g^x不存在“穩定區間”
②中，由冪函數的性質我們易得，M=[0，1]為函數f（x）=x³的“穩定區間”；
③中，由余弦型函數的性質我們易得，M=[0，1]為函數f(x)=cos

π

2

x的“穩定區間”；
④中，若f（x）=lnx+1存在“穩定區間”
則lna+1=a，lnb+1=b
即lnx=x-1有兩個解，即函數y=lnx與函數y=x-1的圖象有兩個交點，
這與函數y=lnx與函數y=x-1的圖象有且只有一個交點相矛盾，故假設錯誤，
即f（x）=lnx+1不存在“穩定區間”
故答案：②③

點評：本題考查的知識點是函數的概念及其構造要求，在說明一個函數沒有“穩定區間”時，利用函數的性質、圖象結合反證法證明是解答本題的關鍵．