Question

選修4-4　 坐標系與參數方程
已知曲線C的極坐標方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0，
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設（x，y）是曲線C上任意一點，求

y

x

的最大、最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用極坐標與直角坐標的互化公式即可；
（Ⅱ）設

y

x

=k，把問題轉化為y=kx與圓相切時的直線的斜率問題即可．

解答：解：（Ⅰ）∵ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0，∴ρ2-4

2

ρ(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)+6=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0，
化為普通方程x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2，圓心C（2，2），半徑r=

2

．
（Ⅱ）設

y

x

=k，則y=kx．
∵直線y=kx與圓C有公共點，∴圓心C（2，2）到直線y=kx的距離d≤r，即

|2k-2|

k2+1

≤

2

，化為k²-4k+1≤0，解得2-

3

≤k≤2+

3

．
∴

y

x

的最大、最小值分別為2+

3

、2-

3

．

點評：熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式及直線與圓的位置關系是解題的關鍵．