Question

（本題滿分12分）有混在一起質地均勻且粗細相同的長分別為1、2、3的鋼管各3根（每根鋼管附有不同的編號），現隨意抽取4根（假設各鋼管被抽取的可能性是均等的），再將抽取的4根首尾相接焊成筆直的一根．
（1）若用ξ表示新焊成的鋼管的長度（焊接誤差不計）,試求隨機變量的分布列及；
（2）設的取值從小到大依次為數列是首項為1，公差為的等差數列，設，當時，求的值。

Answer 1

（2）

（1）新焊接成鋼管的長度的可能值有7種，最短的可能值為5m，最長的可能值為11m。
當ξ=5m與ξ=11m時的概率為P₅=P₁₁=當ξ=6m與ξ=10m時的概率為P₆=P₁₀=
當ξ=7m與ξ=9m時的概率為P₇=P₉=
當ξ=8m時的概率為P₈=   ∴ξ的分布列為：

ξ	5	6	7	8	9	10	11
P

 
∴Eξ=
(2)依題意S=a₁×+a₂×+…+a₇×，又S= a₇×+ a₆×+…+a₁×
∴2S=(a₁+a₇)×+(a₂+a₆)×+…+(a₇+a₁) ×
∵{a_n}是等差數列，∴a₁+a₇=a₂+a₆=a₃+a₅=…= a₇+a₁
∴2S=(a₁+a₇)×(+++…+)
=(a₁+a₇)即S=                                    （10分）
由(1) Eξ=8，又∵a₁=1，∴d=      （12分）