Question

已知函數f（x）=ax²+1，g（x）=x³+bx，其中a＞0，b＞0．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點P（2，c）處有相同的切線（P為切點），求a，b的值；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函數h（x）的單調遞減區間為[-

a

2

，-

b

3

]，求：
（1）函數h（x）在區間（一∞，-1]上的最大值M（a）；
（2）若|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（2，c）處具有公共切線，可知切點處的函數值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；
（II）（1）根據函數h（x）的單調遞減區間為[-

a

2

，-

b

3

]得出a²=4b，構建函數h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+

1

4

a²x+1，求導函數，利用導數的正負，可確定函數的單調區間，進而分類討論，確定函數在區間（-∞，-1）上的最大值．
（2）由（1）知，函數h（x）在（-∞，-

a

2

）單調遞增，在（-

a

2

，-

a

6

）單調遞減，在（-

a

6

，+∞）上單調遞增
，從而得出其極大值、極小值，再根據|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，建立關于a的不等關系，解得a的取值范圍即可．

解答：解：（I）f（x）=ax²+1（a＞0），則f'（x）=2ax，k₁=4a，g（x）=x³+bx，則f'（x）=3x²+b，k₂=12+b，
由（2，c）為公共切點，可得：4a=12+b  ①
又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，
∴4a+1=8+2b，與①聯立可得：a=

17

4

，b=5．
（2）由h（x）=f（x）+g（x）=x³+ax²+bx+1，
則h′（x）=3x²+2ax+b，
因函數h（x）的單調遞減區間為[-

a

2

，-

b

3

]，∴當x∈[-

a

2

，-

b

3

]時，3x²+2ax+b≤0恒成立，
此時，x=-

b

3

是方程3x²+2ax+b=0的一個根，得3（-

b

3

）²+2a（-

b

3

）+b=0，得a²=4b，
∴h（x）=x³+ax²+

1

4

a²x+1
令h'（x）=0，解得：x₁=-

a

2

，x₂=-

a

6

；
∵a＞0，∴-

a

2

＜-

a

6

，列表如下：

x	（-∞，- a 2 ）	- a 2	（- a 2 ，- a 6 ）	- a 6	（- a 6 ，+∞
h′（x）	+		-		+
h（x）		極大值		極小值

∴原函數在（-∞，-

a

2

）單調遞增，在（-

a

2

，-

a

6

）單調遞減，在（-

a

6

，+∞）上單調遞增
①若-1≤-

a

2

，即a≤2時，最大值為h（-1）=a-

a2

4

；
②若-

a

2

＜-1＜-

a

6

，即2＜a＜6時，最大值為h（-

a

2

）=1
③若-1≥-

a

6

時，即a≥6時，最大值為h（-

a

2

）=1．
綜上所述：當a∈（0，2]時，最大值為h（-1）=a-

a2

4

；當a∈（2，+∞）時，最大值為h（-

a

2

）=1．
（2）由（1）知，函數h（x）在（-∞，-

a

2

）單調遞增，在（-

a

2

，-

a

6

）單調遞減，在（-

a

6

，+∞）上單調遞增
故h（-

a

2

）為極大值，h（-

a

2

）=1；h（-

a

6

）為極小值，h（-

a

6

）=-

a3

54

+1；
∵|h（x）|≤3，在x∈[-2，0]上恒成立，又h（0）=1．
∴

h(-2)≥-3 h(- a 6 )≥-3

即

- 1 2 a2+4a-7≥-3 - a3 54 +1≥-3

，解得

4-2 2 ≤a≤4+2 2 a≤6

∴a的取值范圍：4-2

2

≤a≤6．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，解題的關鍵是正確求出導函數和應用分類討論的方法．