Question

數列{a_n}的首項為a1=

5

6

，以a₁，a₂，a₃，…，a_n-1，a_n為系數的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n≥2，且n∈N₊）都有根α、β，且α、β滿足3α-αβ+3β=1．
（1）求證：{an-

1

2

}是等比數列；           
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）記S_n為{a_n}的前n項和，對一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由韋達定理，得α+β=

an

an-1

，且αβ=

1

an-1

（n≥2，且n∈N₊）． 代入3α-αβ+3β=1，整理構造出數列{an-

1

2

}再證是等比數列；  
（2）在（1）的基礎上，先求數列{an-

1

2

}的通項公式，再得出{a_n}的通項公式
（3）由（2）可求得S_n=a₁+a₂+…+a_n=

n

2

+(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，只需λ≤(Sn-

n

2

)min=S1-

1

2

解答：解：（1）由α、β是方程a_n-1x²-a_nx+1=0的兩根，得α+β=

an

an-1

，
且αβ=

1

an-1

（n≥2，且n∈N₊）．又由3α-αβ+3β=1得3（α+β）-αβ=1，
∴

3an

an-1

-

1

an-1

=1，整理得3a_n-1=a_n-1（n≥2）．
∴an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)（n≥2，且n∈N₊）．
∴{an-

1

2

}是等比數列，且公比q=

1

3

．    
（2）∵a1=

5

6

，∴a1-

1

2

=

1

3

，則an-

1

2

=

1

3

×(

1

3

)n-1，
即an=

1

2

+(

1

3

)n．    …（7分）
（3）∵S_n=a₁+a₂+…+a_n=

n

2

+(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)
=

n

2

+

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

n

2

+

1

2

(1-

1

3n

)，
∴Sn-

n

2

=

1

2

(1-

1

3n

)．又顯然數列{Sn-

n

2

}是遞增數列，
∴要使對一切n∈N₊，不等式2S_n-n-2λ≥0恒成立，
只需λ≤(Sn-

n

2

)min=S1-

1

2

=a1-

1

2

=

5

6

-

1

2

=

1

3

，
∴λ的取值范圍是(-∞，

1

3

]．

點評：本題主要考查了利用遞推關系 an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及構造等比數列求數列的通項公式，分組數列的求和，不等式的恒成立問題的轉化求最值，體現了轉化思想的應用．