Question

已知點P（x，y）為橢圓上一點，F₁、F₂為橢圓左、右焦點，下列結論中：①△PF₁F₂面積的最大值為；②若過點P、F₂的直線l與橢圓的另一交點為Q，則△PF₁Q的周長為8；③若過點P、F₂的直線l與橢圓的另一交點為Q，則恒有；對定點，則的取值范圍為．其中正確結論的番號是________．

Answer 1

②③④
分析：①△PF₁F₂面積S=|F₁F₂|•|y|，所以當|y|取最大值時，△PF₁F₂面積最大，此時點P為橢圓短軸端點；
②利用橢圓的第一定義，即可求得；
③分斜率存在與不存在討論，假設直線方程代入橢圓方程，借助于韋達定理與橢圓的第二定義，化簡即可；
④根據定點在橢圓的內部，點P（x，y）為橢圓上一點，可得=，從而當且僅當P、A、F₁三點共線時，取得最小與最大，取得最小與最大．
解答：①△PF₁F₂面積S=|F₁F₂|•|y|=|y|，所以當|y|取最大值時，△PF₁F₂面積最大，所以點P為橢圓短軸端點時，|y|取最大值，此時y=±1，即△PF₁F₂面積的最大值S=，故①錯誤；
②∵P，Q在橢圓上，F₁、F₂為橢圓左、右焦點
∴△PF₁Q的周長為2a+2a=4a，
∵a=2
∴△PF₁Q的周長為8，
故②正確；
③斜率存在時，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程為：y=k（x）
代入橢圓方程得：
∴，
根據橢圓的第二定義可得：，
∴|PF₂|=a-ex₁，|QF₂|=a-ex₂
∴
==
∵，，
∴
當斜率不存在時，，∴，故③正確；
④∵定點在橢圓的內部，點P（x，y）為橢圓上一點，
∴=
當且僅當P、A、F₁三點共線時，取得最小與最大，取得最小與最大．
∵
∴
∴的取值范圍為，故④正確
故答案為：②③④
點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的性質，考查橢圓的兩個定義，解題思維有點困難，計算要細心．