Question

如圖，空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，且AB=AD，BC=DC．

（1）求證：平面EFGH；
（2）求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

（1）要證明線面平行，則要根據題意，得到線線平行，即EH∥BD。
（2）證明一個四邊形是矩形，首先確定是平行四邊形，再證明一個角是直角來得到。

試題分析：證明：（1）∵E，H分別為AB， DA的中點．
∴EH∥BD，又平面EFGH，平面EFGH,
平面EFGH；……4分
(2)取BD中點O，連續OA，OC．
∵ AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC．
∴BD⊥AC．                   ……7分
∵E，F，G，H為AB，BC，CD，DA的中點．
∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．
∴EH∥FG，且EH=FG．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．……10分
由（2）可知AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD．
∴EF⊥EH．
∴四邊形EFGH為矩形．   ……12分
點評：主要是考查了空間中線面平行的證明，以及關于平面四邊形的形狀的確定，屬于基礎題。