Question

已知實數x，y滿足不等式組

x+3y-3≥0 2x-y-3≤0 x-y+1≥0

，則

y-1

x+1

的取值范圍是

[-

4

19

，

4

5

]

．

Answer 1

分析：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，即動點（x，y）到定點（-1，1）斜率的取值范圍，然后利用斜率公式求解即可．

解答：解：設z=

y-1

x+1

，則z的幾何意義為動點（x，y）到定點A（-1，1）斜率的取值范圍，
作出不等式對應的可行域（陰影部分），
由圖象可知過AC兩點的斜率最大，過AB兩點的斜率最小．
由

x-y+1=0 2x-y-3=0

，解得

x=4 y=5

，即C（4，5），此時過A，C的直線斜率k=

5-1

4-(-1)

=

4

5

．
由

x+3y-3=0 2x-y-3=0

，解得

x= 12 7 y= 3 7

，即B（

12

7

，

3

7

），此時過A，B的直線斜率k=

3 7 -1

12 7 -(-1)

=

3-7

12+7

=-

4

19

．
∴-

4

19

≤z≤

4

5

，
即

y-1

x+1

的取值范圍是[-

4

19

，

4

5

]．
故答案為：[-

4

19

，

4

5

]．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義是解決本題的關鍵．數形結合是解決線性規劃問題中的基本方法．